2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
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一、证明题
1． 设
【答案】一方面
另一方面
2． 从正态总
. 中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明:不管
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布. 由于n=100，
，
，证明:
先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为其中所以
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
3． 证明:若明:
与
是未知参数
的两个UMVUE , 则
依概率几乎处处成立. 这个命题表
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是
几乎处处成立.
是0的无偏估计，则已知
由此立即可得
4． 设
也是一个分布函数.
几乎处处成立，即
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明
:
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质.
（1）单调性. 因
为
于是
（2）有界性. 对任意的X ，有
都是分布函数，故
当时，
有
且
（3）右连续性.
5． 设
则
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
所以由马尔可夫大数定律知
6． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
与
是偶函数，从而
的密度函数
关于
对称，
与
分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
与
服从大数定律.
的样本中位数是
证明
的密度函数关
的方差
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
的容量为
7． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
8． （伯恩斯坦大数定律）设有
【答案】记有
所以
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
证明:
的特征函数，由唯一性定理知是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.
任对
存在
当
且X
时，一致地
时，
二、计算题
9． 设总体密度函数为
（1）求（2）求
的有效估计.
，对数似然函数为
将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程
»
解之得（2）令因此
，则
，从而有
，于是
为求有效估计，需求出的费希尔信息量，注意到，
，
的最大似然估计；
，是其样本.
【答案】（1）似然函数为