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一、计算题

1． 某单位调查了520名中年以上的脑力劳动者，其中136人有高血压史，另外384人则无，在有高血压史的136人中，经诊断冠心病及可疑者有48人，在无高血压史的384人中，经诊断为冠心病及可疑者的有36人. 从这个资料，对高血压与冠心病有无关联做检验，取

表示

【答案】该题完全类似于上题. 用A 表示有无高血压，它有两个水平：表示有高血压史，表示无高血压史，用B 表示诊断结果，它也有两个水平：表示诊断为冠心病及可疑者，诊断结果正常. 则由已知得下表：

表

高血压与冠心病无关联，即A 与B 是独立的. 统计表示如下：

此列联表独立性检验的统计量可以表示成

检验的假设为

此处

此处观测值远远超过临界值，故拒绝原假

设，即认为高血压与冠心病有关系. 此处的P 值为

2． 在遗传学研宄中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为

若已知m=2

,

是样本，试求p 的最大似然估计.

的样本中有个为1,

有

【答案】当m=2时，该截尾二项分布只能取1与2, 不妨设个为2，则其似然函数为（忽略常数）

对数似然函数为

将对数似然函数关于p 求导并令其为0得到似然方程

解之得

后一个等式是由于

所以

代入上式即得.

3． 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）:

1050，1100，1130，1040，1250，1300, 1200，1080

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计.

【答案】样本均值样本标准差

因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0562.

4． 设

是来自均匀分布

与

的一个样本，寻求α与β的无偏估计. 可分别用来估计

但它们都不是无偏估计，

【答案】容易看出，这是因为均匀分布

的分布函数与密度函数分别为

由此可导出次序统计量与的密度函数分别为

从而可分别求出它们的期望

这表明：

与

不是α与β的无偏估计，但做恰当修正后，可获得α与β的无偏估计. 把（*）

或

再使用加减消去法，即可得

与（**）两式相加与相减可得

的无偏估计分别为

5． 某箱装100件产品, 其中一、二和三等品分别为80, 10和10件. 现从中随机取一件, 定义三个随机变量

如下

试求随机变量【答案】因为

和

的相关系数

所以有

由多项分布可导出

的联合分布列如下

表

1

譬如,

表

2

所以

由此得

6． 设

来自伽玛分布族

的一个样本, 寻求

的充分统计量.

由此获得乘积

的分布列

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理,

或

是充分统计量.

7． 某建筑工地每天发生事故数的现场记录如下：

表

1

试在显著性水平

下检验这批数据是否服从泊松分布.

【答案】本题与上题完全类似，仍为检验总体是否服从泊松分布的分布拟合检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为：

未知参数采用最大似然估计得：