2017年景德镇陶瓷学院概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.
【答案】将此问题看成是：5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=1-p（5个人生日全不同月）
2． 求以下分布的中位数：
（1）区间（a ，b ）上的均匀分布； （2）正态分有（3）对数正态分布【答案】（1）从1（2）记
（3）
记则由（2）知
由此得
即
3． 设随机变量X 的密度函数为
试求X 的分布函数.
【答案】由于密度函数p （X ）在四段设立，具体如下：
，所以其分布函数也要分上分为四段（如图）
由
令X=Iny，
则
中解得
可得又记
为Y 的中位数.
为X 的中位数，
图
综上所述，X 的分布函数为
4． 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1. 试求找到钥匙的概率.
【答案】记事件
为“钥匙掉在宿舍里”，
为“钥匙掉在教室里”，
为“钥匙掉在路上”，事
5． 设二维随机变量（X ，Y ）服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由x-y=0，x+y=2与y=0所围成的三角形区域.
（I ）求乂的概率密度（II ）求条件概率密度
；
。
件B 为“找到钥匙由全概率公式得
【答案】（I ）（X ，Y ）的概率密度为
X 的概率密度为
①当x<0或x>2时，②当③当综上所述
（II ）Y 的概率密度为
在
时，X 的条件概率密度为
时
，时
，
6． 设总体X 的分布函数为
是来自总体的简单随机样本，（1）求
量；（3）是否存在常数a ，使得对任意的
都有
其中为未知的大于零的参数
，
；（2）求
的极大似然估计
【答案】（1）由题意，先求出总体X 的概率密度函数
（2）极大似然函数为则当所有的观测值都大于
零时
，
（3）由于可知
令
得
的极大似然估计量为
独立同分布，显然对应的
由辛钦大数定律，
可得
故存在常数
使得对任意的
都有
也独立同分布，又有（1）
再由（1）（2）可知
，
7． 设随机变量X 的密度函数为
试求
（1）系数A ；
（2）X 落在区间（0，π/4）内的概率.
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