当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为

（I

）求

Y

的概率密度为

（II ）求X 的概率密度f （z ）. 【答案】（I ）

，则其值为非零时z 的取值区间为[-1, 2]. （II ）设z 的分布函数为F （z ）当z<-1时，F （z ）=0； 当z>2时，F （z ）=0；

当

时，

所以z 的分布密度函数为

2． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布, 为了解其平均寿命, 从中抽出n 件产品测其实际使用寿命, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.

; 【答案】总体是该厂生产的电容器的寿命全体, 或者可以说总体是指数分布, 其分布为Expa ）样本是该厂中抽出的n 个电容器的寿命；记第i 个电容器的寿命

为

样本

3． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 其密度函数为

（1）求U=X+Y与V=X/（X+Y）的联合密度函数（2）以上的U 与V 独立吗？

第 2 页，共 29 页

则

的分布为其中.

【答案】（1）的反函数为变换的雅可比行列式

所以在（U , V ）的可能取值范围

（2）因为U 与V 各自的边际密度函数分别为

所以由

4． 设（X ，Y ）是二维随机变量，X 的边缘概率密度为

在给定

知U 与V 相互独立.

内, 有

的条件下，Y 的条件概率密度为

（1）求（X ，Y ）的概率密度（2）Y 的边缘密度

【答案】（1）（X ，Y ）的联合概率密度

（2）Y 的的边缘概率密度

5． 设随机变量X 和Y 独立同分布, 且

试求

第 3 页，共 29 页

【答案】利用独立性可得

6． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试问X 与Y 是否相互独立？

（1）（2）（3）（4）（5）

【答案】（1）当时,

x>0

时

,

而当

y>0

. 所以由

, 知X 与Y 相互独立.

（2）因为

所以由

（3）当0

知X 与Y 相互独立.

而当0

所以由

知X 与Y 不相互独立, 实际上, 由于P （X , y ）的非零区域不可分离,

就可看出X 与Y 不相互独立.

（4）当而当所以由

（5）当0

时,

时,

, 知X 与Y 不相互独立.

而当0

所以由

（6）当一1

7． 设

是来自

知X 与Y 不相互独立.

的一个样本，对如下的检验问题

已给出拒绝域

其中

为样本的最大次序统计量.

第 4 页，共 29 页

知X 与Y 相互独立.