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一、计算题

1． 设连续随机变量X 的分布函数为

试求

（1）系数A ；

（2）X 落在区间（0.3，0.7）内的概率； （3）X 的密度函数.

【答案】（1）由F （x ）的连续性，有（2）

（3）X 的密度函数（如图）为

由此解得A=l.

图

2． 某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间（0，1）上取值的随机变量，它的密度函数为

试求平均市场占有率.

【答案】这里平均市场占有率就是E （X ）

.

3． 设某一设备装有3个同类的电器元件, 元件工作相互独立, 且工作时间都服从参数为X 的指数分布, 当3个元件都正常工作时, 设备才正常工作, 试求设备正常工作时间T 的概率分布.

【答案】记

第i 个元件的工作时间,

则

独立同分布, 其共同的密度函数

和分布函数分别为

由题设条件知, 当3个元件都正常工作时, 设备才正常工作, 这等价于“3个元件中有一个失效, 则此设备就停止工作”, 故设备正常工作时间

所以T 的密度函数为

这表明:设备正常工作时间T 服从参数为 4． 设试找出

【答案】

独立同分布服从

与t 分布的联系, 因而定出的密度函数.

的联合密度函数为

记

。

的指数分布.

记

取一个n 维正交矩阵A , 其第一行为元素全为

其余元素只要满足正交性即可. 令Y=AX, 则该变换的雅可比行列式为1, 且注意到:

于是

的联合密度函数为

, 第二行为

由此,

独立同分布于

且

令

则

而

这就建立了与t 分布的联系, 并可定出的密度函数.

5． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？

【答案】设事件A 为“3个代表中至少有一个女工”，则为“3个代表全为男工”，因为

所以

6． 在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验：从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们随机地分为五个组，每一组用一种推销方法进行培训，培训相同时问后观察他们在一个月内的推销额，数据如下：

表

1

假定数据满足进行方差分析的假定，对数据进行分析，在α=0.05下，这五种方法在平均月推销额上有无显著差异？

哪种推销方法的效果最好？试对该种方法一个月的平均推销额求置信水平为0.95的置信区间.

【答案】（1）方便起见，将计算结果列入下表：

表2