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一、证明题

1． 设

证明函数.

存在惟一的零点.

所以存在

之间至少存在一个零点. 又因

使

所以f (x ) 在

则由f (x ) 显然

上单调

【答案】因为连续知，f (x ) 在.

递増，所以f (x ) 存在惟一的零点.

2． 证明：(1) 两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；

(2) 两个偶函数之和与积都为偶函数； (3) 奇函数与偶函数之积为奇函数.

【答案】(1) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个奇函数，令

则

所以f (x ) +g(x ) 是D 上的奇函数，f (x ) g (x ) 是D 上的偶函数. (2) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个偶函数，

则

所以f (X ) +g(X ) 和f (X ) g (X ) 都为偶函数.

(3) 设f (x ) 为D 上的奇函数，g (x ) 为D 上的偶函数，

所以f (x ) g (x ) 为奇函数.

3． 证明：若函数f (x ) 在(a ，b ) 内有连续导数

且

则函数列【答案】因为

即函数列取朗日定理得

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则

在(a ，b ) 内闭一致收敛于函数

的极限函数为对

当

时有

于是当

时，由拉格

存在正整数

由

上连续，从而一致连续，则

当满足

即

对时有

于是有

4． 试证明

【答案】令

则

于是原不等式左边变为

(应用了赫尔德不等式

)

5． 证明：反常积分

【答案】因为

在

所以有

上一致收敛.

又因为

收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法可知，反常积分

6． 设函数

得

【答案】由

在含有

的某个开区间内二次可导，

且

定理得，对

有

而

故有

令

则有

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当n>N时，

即

上一致收敛于

在上一致收敛. 则存在

使

即

7． 证明：若

则

其中

【答案】(1) 令

在区间

上应用拉格朗日中值定理，得

从这个等式中解出

得，

因为

所以

又因为

所以

(2)

二、解答题

8． 求下列函数在指定点处的泰勒公式：

(1

) (2

) (3

) (4)

. 【答案】

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在点(0, 0)(到二阶为止) ；

在点(1，1)(到三阶为止) ；

在点(0, 0) ;

在点(1, -2)