2018年上海财经大学统计与管理学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他共作了10次预测，报对8次.
（1）在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ （2）对什么样的显著性水平，可相信他具有这种能力？
【答案】我们先对问题作一简单分析:若该人有预测能力，则他预测正确的概率应该大于1/2, 若他没有预测的能力，则他胡乱猜测也有数，则
，要检验的一对假设为
若拒绝原假设，则可相信该人有预报能力，否则不能相信他有预报能力，由于检验拒绝域形如
，故检验的p 值为
对此p 值作一些讨论:
（1）由于检验的p 值大于显著性水平犯第二类错误的概率如
，则
类似可算得
可见随着的増加，犯第二类错误的概率在变小. （2）我们知道，当譬如，若取
时应拒绝原假设，因此，当
时拒绝原假设，
，因为
，则拒绝原假设，可相信他有这种能力.
.
，故应不拒绝原假设， ，对具体可算出
的值，
不能相信他具有预报未来股市的涨跌的能力，在不拒绝原假设时可能犯第二类错误，
猜对的可能，现以X 表示他预测10次预测正确的次
2． 为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下:从鱼塘中打捞出一网鱼，计有n 条，涂上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有m 条鱼，而涂有红漆的鱼则有k 条，你能估计出鱼塘里大概有多少条鱼么？该问题的总体和样本又分别是什么呢.
【答案】直观上我们可以给出鱼数的估计，按照成比例的设想，我们应能估算出鱼塘里大概有
条鱼，这就是频率替换的思想. 该问题中总体为鱼塘里所有的鱼，而样本为一天后从鱼塘
里打捞出的鱼，主要观测其是否有记号.
3． 在20世纪70年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ），20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥讨程，下面为老、新两种过程中形成的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）:
表
设两样本分别来自不同的正态总体，并假定两总体方差相等，两样本独立，分别以老、新过程的总体的均值，试检验（
分别为其样本方差，则在原假设又
检验拒绝域为从而拒绝域为
，现由样本观测值可算得
从而检验统计量的值为
成立下有
，故在原假设成立下，
，现取
. 查表知，）:的无偏估计为
， ，其中
为两个总体的共同方差，
. ，
分别为其样本均值，
【答案】以X ，y 分别表示老、新两种过程下的观测值，
表示
由于观测值落入拒绝域，故拒绝原假设，接受备择假设，即老、新方法在NDMA 含量的差大于2
4． 某箱装100件产品，其中一、二和三等品分别为80, 10和10件. 现从中随机取一件，定义三个随机变量
如下
试求随机变量【答案】因为
和
的相关系数
所以有
由多项分布可导出
的联合分布列如下
表
1
譬如，
表
2
所以
由此得
5． 设一个单一观测的样本x 取自密度函数为平p （x ）的总体，对p （x ）考虑统计假设:
若其拒绝域的形式为
使得犯第一，二类错误的概率满足【答案】由因此，当
时.
，并且此时的最小值为.
，试确定一个c ,
，并求其最小值.
，可得
由此获得乘积
的分布列
6． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
【答案】记事件为“第i 次取出不合格品”，i=l，2, D 为“有一件是不合格品”，E 为“另一件也是不合格品”. 因为D 意味着:第一件是不合格品而第二件是合格品，或第一件是合格品而第二件是不合格品，或两件都是不合格品. 而ED 意味着:两件都是不合格品. 即
，因为
所以根据题意得
7． 经验表明:预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为
. 如今餐厅有50个座位，但预定给了52
位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？