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一、计算题

1． 设

是来自

的样本，问n 多大时才能使得因而

所以

立.

2． 设总体概率函数如下，

（1）（2）（3）

【答案】（1）样本要使大似然估计为

的似然函数为

达到最大，首先示性函数应为1，其次是

尽可能大. 由于

故

是的单调增由此给出的最

函数，所以的取值应尽可能大，但示性函数的存在决定了的取值不能大于

（2）此处的似然函数为

其对数似然函数为

由上式可以看出

,

限制似然方程

解之

是

的单调增函数, 要使其最大

,

将

的取值应该尽可能的大, 由于

这给出

即n 至少为62时，上述概率不等式成

成立？

【答案】样本均值

是样本，试求未知参数的最大似然估计.

已知；

这给出

的最大似然估计为关于求导并令其为0得到关于的

（3）设有样本

其似然函数为

达到最大，应尽可能小，但由限制

因而的最大似然估计为

由于

的主体

是可

关于的单调递减函数，

要使以得到

3． 如果

试证: （1）（2）

【答案】（1）因为故当即

（2）先证明使有这时有

时，有

这说明不能小于

成立，进一步由对任意的

可得所以又有

）， 时，有

成立.

取M 足够大（譬如

成立，对取定的M ，存在N ，当

从而有

由即

的任意性知

成立.

同理可证

由上面（1）得

4． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求

【答案】贝塔分布

的密度函数为

且由

知

5． 设A , B 为两事件，

【答案】由条件概率的性质知

其中.

，而

.

. 代回原式，可得

6． 一辆重型货车去边远山区送货. 修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2, 你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？

【答案】此车在途中因轮胎损坏而发生故障意味着车上的六个轮胎至少有一个发生故障， 为此记事件为“第i 个轮胎发生故障”，其中i=l，2, 表示前面两个轮胎，i=3, 4, 5, 6表示后面四个轮胎，

则

.

又假设车上的六个轮胎工作是独立的，则所求概率为

7． 对冷却到

方法A :

方法B :

【答案】设两种方法测量的潜热分别记为X 和Y ，并设

，可用双样本t 检验，则检验的拒绝域为:

本题中，n=13，m=8，直接计算可得，

.

因此有

，

而

，因此应拒绝原假设，即两

种测量方法的平均性能有显著性差异，检验的p 值为0.0036.

8． 自由度为2

的分布的密度函数

为

试求出其分布函数及分位数

. ）要检验

和

假设它们服从正态分布，方差相等，试检验:两种测量方法的平均性能是否相等？（取

的样品用A ，B 两种测量方法测量其溶化到

时的潜热，数据如下:

，

F （x ）=0; 当x >0时， 【答案】此分布的分布函数F （x ）为:当x ≤ 0时，