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一、证明题

1． 证明:

（1）无穷积分（2）无穷积分【答案】利用级数法. （1）原积分

而

当

时有

故

由

发散, 可知

发散, 从而原积分发散.

发散; 收敛.

（2）类似于（1）, 有原积分而

当

时利用不等式

, 有

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故

由收敛, 可知收敛. 同理可证收敛, 从而收敛. 由此可知, 原积分收敛.

2． 证明下列结论:

（1）函数（2）符号函数【答案】（1）假设

不存在原函数;

不存在原函数. , 则

于是当x<0

时有

,

即

; 当X>0

时有

. 由于F （x ）连续,

所以

从而

这与（2）假设

矛盾.

. 由拉格朗日定理得

这说明F （x ）在点x=0不可导, 与.

相矛盾.

二、解答题

3． 导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式:

（1）

; （2

）

【答案】（1）

因此,

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（2）

所以,

4． 求函数

【答案】

的不连续点, 并作函数F （a ）的图像.

因此

它在

处不连续, 其图像见图1.

图1

5．

讨论函数项级数

【答案】当0l时，

级数收敛.

不趋于0, 所以不一致收敛.

，即

于是，对于任意的敛. 6． 求

【答案】

在（0，1）和

的一致收敛性.

所以

，x>l, 存在，当n ＞N 时，因此，级数一致收