2018年天津师范大学数学科学学院629数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1．
若把定理中一致收敛函数列上的极限函数在[a, b]上也可积.
【答案】对[a, b]任作一分割T , 则f （x ）在上的振幅为
设特别地,
时成立.
存在
只要
就有
从而, 当
时, 有
故
所以由可积第二充要条件知f （x ）在[a, b]上可积. 2． 设f 是定义在R 上的函数, 且对任何证明对任何
【答案】由即则
, 这与题设
, 于是或者
, 都有
.
得
或者
. 若. 对任意
有
3． 设f x , f y 在（0, 0）点附近存在, 且在（0, 0）点可微, 证明:
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的每一项在[a, b]上连续改为在[a, b]上可积, 试证在[a, b]
所以, 对任意. 存在N , 当n ≥N 时, 有
又f n （x ）在[a, b]上可积, 故对上述的
, 都有
,
若,
矛盾. 所以
【答案】因为f x , f y 在（0, 0）点可微, 所以两个混合偏导数相等. 由于
, , . , 都存在. 下证:
因此
其中
.
注意到f x 在（0, 0）点可微, 我们有
和
其中
是（
）→（0, 0）时的无穷小量,
是
时的无穷小量.
令
4． 设f （x
）在明:
至少在两点达到最小值.
【答案】由题设知f （x ）在函数的介值性知, 所以
,
使得
, 使得显然
上的值域为
. 再由（f x ）在, 但
,
即F （x ）至少在两点达到最小值.
5． 设
为m 个正数, 证明:
【答案】设由于
, 则
因此
第 3 页，共 20 页
将式（2）、式（3）两式代入式（1）可得
, 则, 故有上连续
,
. .
, 且f （x ）在x=a处达到最小值f （a ） . 又因为 上的值域也是 , 由连续 , 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 二、解答题 6． 试作一函数 使当 时, （1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在； （4）重极限与一个累次极限存在 , 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数 满足 因为 故（2）函数同理 不存在， 满足 也不存在. 但是 （3）函数因为在（4）函数 7． 根据定义叙述在某个 8． 设 或 则也即 严格单增即可. 再令 第 4 页，共 20 页 不存在. 满足当满足 时，重极限和两个累次极限都不存在， 不存在但是 时，sinx 的值在﹣1与1之间振荡，同理，siny 也是一样的 . 【答案】这个命题的叙述为 :设函数f 在点 的某个空心邻域 便得对任意的正数则称当 时, , 总存在满足不等式 不以益为极限, 记为 内有定义, A 为定数. 若存 的x , 使得 为此, 令 【答案】欲证上式, 即证由于 故只需证
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