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一、分析计算题

1． 设n 阶矩阵A 的元素均为整数，有理数线性方程组

只有零解.

只要证明

的系数行列式不等于0即可.

【答案】不妨设事实上，由于

为既约分数（即

且p 与q 互质），证明:

由行列式定义知必为整数如果

即

则有

所以 2． 设【答案】

与

互质矛盾.

求.

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3． 设A 为n 阶方阵,

【答案】

（1）对所以

是A 的一个零化多项式.

（2）由（1）知

, 所求最小多项式

或

或 则有

或

此均与

相矛盾. 所以

（3）由于A 的最小多项式与特征多项式不计重数时根相同, 由（2）得A

的特征值为3和2, 又A 所有特征值之积为

2. 可见A 为3阶方阵, 其不变因子为

所以A 的若当标准形为

4． 计算n 阶行列式

（其中

【答案】利用升阶法

）

所以

A 有且仅有另外一个特征值3. 即A 的所有特征值为3,

3,

如

是

的因式. 所以

只能为

为一次, 即

且其中为A 的伴随矩阵

, 为n

阶单位矩阵.

（1）求A 的一个零化多项式; （2）求A

的最小多项式

两边左乘A , 移项整理得

（

3）求A 的若当标准形

.

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5

． 求实二次型 的规范形及符号差.

【答案】

设，

取则

再取则'

再取

则

从而作非退化线性变换

可得

此即为所求的规范形，显然符号差为0.

6． 设实数域R 上矩阵

（1）求A 的特征多项式

（2） 是否为R 上不可约多项式？（3）求A 的最小多项式, 要写出理由；上可否对角化？

4）A 在R

（