2017年吉林省培养单位长春光学精密机械与物理研究所601高等数学(甲)考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 直径为20cm ，高为80cm 的圆筒内充满压强为10N/cm2的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？
【答案】由条件
,
的压强为p （h ）N/m，则
为常数，故
2
。设圆筒内高度减少hm 时蒸汽
，压力为
，因此做的功为
2． 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A （1，﹣2, 3），B （2, 3，﹣4），C （2，﹣3，﹣4），D （﹣2，﹣3, 1） 【答案】A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限
3． 求曲线
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
，构造拉格朗日函数
计算得
当x ＞0, y ＞0时，由式（9-3）、（9-4）得
得y=x或3xy=－（x+y）（由于x ＞0, y ＞0，舍去）. ，化简得
将y=x代入（9-5）
，即
计算得x=y=1，即（1, 1）为唯一可能的极值点. 当
时，（1, 1）到远点的距离为
.
，再考虑边界点，即（0, 1），，（1, 0）
【答案】设M （x , y ）为曲线上一点，距离
它们到远点的距离都是1，故最小值为1，最大值为
4． 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程：
在
处；
在t=2处。
【答案】（1）
对应的点为
即
（2）
，曲线在点
处的切线方程为
即
法线方程为
对应的点为
曲线在点法线方程为即
5． 求上半球面和xOz 面上的投影.
【答案】如图所示. 所求立体在xOy 面上的投影即为
得所围成的区域.
z 轴及曲线故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，
，而由
与圆柱体
的公共部分在xOy
。
处的切线方程为
，
。
即
。
图
6． 计算下列极限：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）当
时，
当故不论（2）（3）（4）（5）（6）
时，
为何值，均有
；
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