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一、计算题

1． 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:

【答案】（1）又

，故

（2）又

故函数在x=0处可导。

2． 求下列各极限：

在x=0处不可导。

，故函数在x=0处连续。

故

在x=0处连续。

【答案】

3． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20m ，较长的底边和水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。

【答案】如图建立坐标系，则过A 、B 两点的直线方程为的变化范围为[-20, 0]，对应小区间[y，y+dy]的面积近似值为因此水压力为

，取Y 为积分变量，Y

，γ表示水的密度，

图

4． 求函数

【答案】f （x ）在续区间为

因为

的连续区间，并求极限

。

，

。

处无意义，所以这两个点为间断点，此外函数到处连续，连

所以

5． 设级数

收敛，且

不一定收敛。

问级数

。

是否也收敛？试说明理由。

【答案】级数当

是正项级数时，在题设条件下

即有

必定收敛，因为根据收敛数列的保号

收

性知，存在正整数N ，当n ≥N 时有敛，即

当

收敛。

不是正项级数时，

于是，按正项级数的比较审敛法知

可能不收敛。例如：若

然而

发散。

则

收敛，且

6． 求下列幂级数的和函数：

【答案】（1）

则

当时，原级数收敛，当

即

即

时，因级数的一般项

从0到x 积分并逐项积分

故级数发散。

因此原级数的收敛域为

设和函数为

上式两端对x 求导，得