2017年辽宁工程技术大学应用数学830高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
【答案】（A ）
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
4． 设n （n ≥3）阶矩阵
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B.
C.-1
D.
故
但当a=l时，
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 【答案】B 【解析】 二、分析计算题 6． 求证 【答案】 时， 又 所以 时，显然 . 均为n 阶方阵. 7． 证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和. 【答案】设A 是一个秩为r 的n 级对称矩阵，则有可逆矩阵C 使 其中1的个数等于A 的秩. 用表示对角线上第i 个元素为1, 其余地方都为0的n 级矩阵，则 因为因此 8． 设成与 【答案】记用 表示是方程的多项式. 因为 是 的根，所以 的初等对称多项式： 的初等对称多项式 的任一对称多项式 的多项式. 证明 与A 相似，k 是正整数. 是 可以表成 与 的多项式 . 因而是 9． 设A 的特征多项式为， 【答案】由若当定理知，存在可逆矩阵P ，使得 的秩等于1，而为可逆矩阵，所以上式中的 的秩等于1，而且 是对称矩阵. 因此A 可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和. 的根，证明 ： 的对称多项式可以表 则于是 因此由第一式逐步递推， 可知 的多项式
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