2017年辽宁大学数学院843线性代数考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：可逆变换是双射.
【答案】设为可逆变换，即有逆变换
证明=
证明
是单射.
对
，故
：是满射. 对
即若有
是单射.
故是满射
.
找
使
用使
同乘此式两边，则左
=
右
既是单射，又是满射，因而是双射.
2． 用J （A ）表示n 阶方阵A 的若尔当标准形. 证明：对任意复数A 均有
【答案】设为阶若尔当块且
则由此得
因此，
是正定矩阵；
）均为实数，
3． 证明：①若A 为n 阶实对称矩阵，则
【答案】①设且
为实对称的.
②若A , B为实对称矩阵，则A-B ，B-A 为半正定
的特征根为
由于A 为实对称的，故其特征根（设为
故
为正定矩阵.
d 淹分性显然，下证必要性.
设A-B 半正定，则显然B-A 半负定. 又因为B-A 半正定，故对任意实n 元列向量X 有
从而
因此，A=B.
4． 证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值.
【答案】方法1 我们只证明正交矩阵A ，若就行了.
则以1为特征值，只要证
由于n 为奇数，故
又有
则
A 以1为特征值.
方法2 A 是实正交阵，也就是酉矩阵. 它的虚特征值必成对出现，且其模为1, 它的实特征值是±1. 因此可设其全部的特征值为
其中数.k
=n—t —2m 是奇数，至少是1. 故A 及
5． 设
以1作为特征值•
均线性相关
，线性无关，
又
且2m+k+t=n.
由于
t 一定是偶
是线性空间V 中线性无关向量组，而
证明：向量组
线性无关.
线性无关，从
而
可由
线性表示，从而有
【答案】由题
设线性相关，从而有
这里
而
线性无关.
线性无关，所以向量组
6． 设其中是互不相同的数.
（1）由行列式定义，说明（2）由行列式性质，求【答案】（1）
是一个的根.
次多项式；
而且P （x ）的
的系数为
的展开式中，各项的最高次数为
所以（2）
是一个的根为
次多项式.
都有
7． 证明：对欧氏空间中任意向量
【答案】根据三角形不等式得
在此不等式中，将与互换，又得
但故
由（2）得
8． A 是n ×m 矩阵. 对
记
其中
试证下述Binet-Cauchy 公式：设A
为
阵，B 为
阵，则
【答案】易知
当p>q时，把（1）的右端按最后p 列展开，则在它的q+p行中任取p 行所组成的p 阶子式中至少有p —q 个行是零向量. 由Laplace 定理知这个行列式为零. 这就证明了第一种情形.
当
时，仍将（1）的右端按最后P 列展开. 则
中不为零的P 阶子式最多有
个而其
中任意一个都是某个子式中的代数余子式恰好是
若能证明它在这个p+q阶行列式
则由Laplace 定理就可证明第二种情形.