当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． [1]如果

试证: （1）（2）[2]如果

【答案】（1

）因为

时

即

（2）先证

明

成立, 进一步由

. 对任意

的

成立, 对取定的M , 存在N , 当

这时有

从而有

由即[2]若对任意的

的任意性知

成立.

是m 次多项式函数, 即

取M 充分大,

使有于是有

第 2 页，共 41 页

是直线上的连续函数, 试证:

,

可得

所以又有

取M 足够大（譬

如

时, 有

成立. ）, 使

有

,

故当

有

同理可证由上面（1）得

则由题[1]知有

,

又选取

下证一般情况,

充分大,

使当

时,

有

对取定的M ,

因为

是连续函数,

所以可以用多项式函数去逼近

, 使得

当

所以存在

因为

并且在任意有限区

时,

有使当

间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项

式

对取定的m 次多项式

时, 有

当又因为

且

所以

从而有

由

的任意性即知

, 结论得证.

2． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，

即对任意的实数

与X 有相同的偏度系数与峰度系数.

【答案】因为j

所以

即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为

所以Y 与X 有相同的峰度系数.

3． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

第 3 页，共 41 页

又因为

时, 有

所以

4． 设随机变量

【答案】若随机变量而

证明

则

也服从

从而

这就证明了

5． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

6． 设明:统计量

（1）若函数

也存在. 于是其中（2）若（0,

, 当

则

时,

）上取值, 所以当

是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证

服从

这是因为F （x ）的反

当

时, 有

这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知

7． 设（

）为n 维随机变量, 其协方差矩阵

存在. 证明:若

使得

,

则以概率1

的相互独立性可导致

分布函数, 即

（2）. 相互独立, 由（1）

所以

仅在

（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故

【答案】分几步进行:

且F （x ）为连续严增函数, 则

的分布函数为

在各分量之间存在线性关系, 即存在一组不全为零的实数

【答案】由于使得

另一方面,

意味着B 非满秩, 故存在一组不全为零的实数向量

第 4 页，共 41 页