2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院432统计学之概率论与数理统计教程考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）且从（1）在
则
所以
（2）
（3）
2． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
3． 证明公式
其中
的特征函数, 由唯一性定理知
, 且X
，
【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出_
而对k=0.
对
其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,
也为
明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.
4． 设为来自指数分布的样本，为来自指数分布样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
这就证
的样本，且两组
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
则似然比统计量为
而
在
由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计
为
由求导可知，函数为
或者
这就证明了（2）的结论.
为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到
诸
与
诸
间的独立性，在原假
设
成立下，有如下抽样分布：
5． 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是
（2）有界性. 对任意的x ，有
且
（3）右连续性.
6． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：
其中
平方和之间的关系；
（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：
所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为
在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出
然后再据此给出
总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：
都是分布函数，故当
时，有
是适当选取的常数.
（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差
它们的关系为