2017年淮北师范大学数学分析、高等代数(同等学力加试)之高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 在下列条件下，求所给多项式的所有根：
的根；
的根.
【答案】①由于实系数多项式的虚根成对出现，故整除，且易知商为
也是f （x ）的根，从而f （x ）可被
. 由此又知f （x ）的另两个根为
设另一根为a , 则由根与系数关系知：
故
2． 构造一个3阶实对称阵A ，使其特
征值为
【答案】设属于特征值-1的特征向量为个特征向量正交，此即
由此可解得对应于特征值-1的特征向量为
将这些特征向量正交化得
再单位化得
并且对应特征值1有特征
向量因为A 是实对称阵，所以必与已知两
②同理，g （x ）的另两个根为：
令则
故
3． 计算柯西（Cauchy ）行列式
【答案】将行列式第n 行的-1倍加到其余各行，行提公因子公因子
得
列提
将上式中行列式的第n 列的-1倍加到其他各列，按最后一行展开后，列提公因子
行提公因子
可得
依此递推，结合
得，
4． 设A 是秩为r 的n 阶方阵. C ，使得A=CB，而且BC=E.
【答案】先证充分性. 设A=CB, 其中C , B分别为再证必要性
.
和
矩阵，且BC=Er.则
的充要条件是存在秩为r 的矩阵B 和秩为r 的矩阵
可对角化，且其特征值只能是0和1. 于是存在可逆阵T ，使
其中
那么C 是
矩阵，B 是
矩阵，且
5． 证明：如果
【答案】由可得
不全为零，且
那么
因此根据定理3知
6． 设是n 欧氏空间的线性变换，
证明（1）是线性变换； （2）的核等于的值域的正交补. 【答案】⑴
由a 的任意性，特别令
则②式仍成立，类似可证（2）下证
由①，有
由④知反之
即
则
由的任意性，特别令由
7． 在数域K 上的4维向量空间
内，给定向量组
（1）判断此向量组是否线性相关； （2）求此向量组的秩； （3）求此向量组生成
的子空间
是同一空间V 的变换，且对
有
由①有
此即
所以是V 的线性变换.
. 此即
由⑥即知
所以此即
即证
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