2017年淮北师范大学数学分析、高等代数(同等学力加试)之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 是一单位矩阵
E.
显然已是所要的形式.
假设n-1时结论已成立，下证n 时结论也成立. 由
它的第一列必有某
若
但2行1列处的元是1. 再用
若
选1，使
用则可用
右乘A ，则所得右乘A ，则得右乘它，则所得矩阵
矩阵的1行1列元素为到的矩阵的1行1列处仍是
矩阵，
证明：A 可以表成
这一类初等矩阵的乘积. 类型的矩阵左或右乘A 使其变成
【答案】对A 的级数作归纳法来证明可逐步用
的1行1列处的元是1. 对于以上两种情形，不妨仍记所得的最后矩阵为A , 这时
易知它可用一系列型的矩阵右乘或左乘它，将它变成
由于前面各变换皆保持行列式不变，故
阵，又有
左乘或右乘它，将变成B 变成这就完成了归纳法.
2． 求矩阵X. 设
（1）
由归纳假设，能在
上用一系列
型矩阵
其结果也是在B 上用一系列
型矩阵左乘或右乘它，并将
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
得
（2）
（3）
（4）
3． 计算n 级行列式
的值，其中
【答案】将升阶
4． 设
是n 维空间V 的两个子空间，且其维数之和等于n. 证明：存在V 的线性变换V 使
【答案】若设分别为（其中由此可得
下再证：任取则由（8）得所以因此，又因为
故由（8）知
从而
则
再令
（9）
则取T=0; 若
则取T=I, 即得. ）且
与
与
的一基. 现扩充为
使
维数分别为S ，T （于是
个向量）为V 的一基. 于是，存在T 的线性变换T 使