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一、证明题

1． 设

，试证

：

【答案】因为X 的密度函数为

又因为Y=In X 的可能取值范围为单调增函数，其反函数为

且

是区间

上的严格

所以Y 的密度函数为

这正是

2． 如果

的密度函数. 且.

有

试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的故当即对任意的

时, 有

有

于是有

从而

成立, 结论得证.

3． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x）

，

由

对上式右端积分作变量变换y=c-t，则

再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则

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【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知

结论得证.

对称分布函数的这个性质可用图表示：

图

4． 设总体X 的密度函数为

为容量为5的取自此总体的次序统计量, 试证

【答案】

先求

的联合密度为

下求

的联合密度, 为此, 令

其雅可比行列式的绝对值为

. 由

得

另外, 我们还可以求出边际密度,

类似可求得

显然

5． 设总体μ，则

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与相互独立.

所以

的联合密度. 由于总体X

的分布函数为

于是

这就证明了为样本，证明，

分别是

独立.

分别为

是0的任一无偏估计，

的UMVUE. 【答案】大家知道：

的无偏估计，设

即

将（*）式两端对H 求导，并注意到

有

这说明为证明

即

于是

从而

的UMVUE.

的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0

这表明这就证明了 6． 记

证明

【答案】

由

得

由此可得到的UMVUE.

因而

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