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一、证明题

1． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

（1）（2）（3）

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.

因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记

为第k 次取到白球的概率，则有

且

即

对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.

（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.

2． 设是来自的样本, 为其次序统计量, 令

证明

相互独立.

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【答案】令作变换

则的联合密度函数为

其中

函数为

该联合密度函数为可分离变量, 因

而

3． 设总体

【答案】令

则

对上式求导易知，当

4． 设随机变量

（1）（2）

【答案】（1）设所以当即

时,

的密度函数为

即（2）因为以

, 所以

又因为

所

时,

和

则

的密度函数为

则

所以

当

与

时上式达到最小，最小值为

它小于的均方误差

相互独立,

且

其雅可比行列式绝对值为

, 联合密度

是样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:

是相互独立的标准正态随机变量.

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由此得

所以（X , Y ）的联合密度函数为

这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.

5． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

6． 设

是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，

再由本节第3题知

有

独立同分布, 且

令

, 试证明:

其中（3为常

（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是

的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为

由此可见（2）

是的无偏估计.

是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为

由此可见

（3）反证法，倘若

是p （1-p ）的一个无偏估计.

是1/p的无偏估计，则有

或者

上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论

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