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一、证明题

1． 设数为

是来自均匀分布

其中

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

2． 设总体X 的分布函数为

【答案】设

经验分布函数为

试证

是取自总体分布函数为

的样本, 则经验分布函数为

若令于是

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则是独立同分布的随机变量, 且

又可写为, 故有

3． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为

证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为

则

与的联合分布为

所以，

即成功概率p 的后验分布为分布族.

4． 任意两事件之并

故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

5． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，且看出，事件A ，记

以下对n 用归纳法：

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又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，

（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有（2）设其中

则

代入可得

由归纳法知结论成立.

6． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

又由

由此得结论.

7． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.

【答案】因为

所以

即X 与Y 不相关.

8． 设总体μ，

的UMVUE. 【答案】大家知道：

分别是

的无偏估计，设

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【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

由此得

则X 与Y 有函数关系. 试证:X

为样本，证明，分别为

是0的任一无偏估计，