当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算

【答案】

由此得

2． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

这就证明了

第 2 页，共 44 页

利用此结果计

对一切的存在，

3． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

4． 设

为来自指数分布

的样本，

为来自指数分布

的样本，且两组

样本独立，其中

（1）求假设

是未知的正参数.

的似然比检验；

（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量

在原假设成立下的分布.

【答案】样本的联合密度函数为

参数空间分别为

下参数的最大似然估计

为

则似然比统计量为

而

在

由微分法容易求出在

下参数的最大似然估计

为

由求导可知，函数为

或者

这就证明了（2）的结论.

为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写

注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得

再注意到

诸

第 3 页，共 44 页

与

诸

间的独立性，在原假

设成立下，有如下抽样分布

：

5． 设随机变量序列独立同分布, 其密度函数为

试证:

当

‘所以, 对任意的

时,

有

, 当

其中常数而当时, 有

, 令

时,

有

【答案】因为当x<0时,

有

所以有

结论得证.

6． 设X 为非负连续随机变量，证明：对

，则有

【答案】设X 的密度函数为p （X ）

7． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

8． 设总体为如下离散型分布

表

是来自该总体的样本.

（1）证明次序统计量（（2）以

表示

）是充分统计量；

中等于的个数, 证明（

第 4 页，共 44 页

）是充分统计量.