2017年内蒙古工业大学理学院805概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.
【答案】因为
所以
即X 与Y 不相关.
2． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
3． 设
是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d 则X 与Y 有函数关系. 试证:X
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
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, 与分别是两个样本方差.
且相互独立, 故
于是
4 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE
，即
即
且
的无偏估计，故其差
5． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
6． 设
是来自
的样本,
即A ，B 相容.
为其次序统计量, 令
证明【答案】令作变换
其中
函数为
该联合密度函数为可分离变量, 因
而
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，则这说明
是0的无偏估计，
由判断准则知
相互独立.
则
的联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为, 联合密度
相互独立,
且
7． 证明：
（1）（2）
【答案】（1）由
移项即得结论.
8． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
二、计算题
9． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为
（1）确定常数c ； （2）写出X 的分布函数；
（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时，当
时，
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