2017年内蒙古工业大学理学院805概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 任意两事件之并
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
2． 设计.
【答案】由于
这就证明了
3． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
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（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
独立同分布，，证明：是的相合估
，是的相合估计.
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
表示
【答案】（1）给定（
于是, 对任一组并
满足
中有个有
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,
是充分统计量.
都服从区间（0，1）
1与
,
）,
是一一对应的,
）就可算得（
, 反之, 给出）
,
,
也可构造出（
, ）
）是充分统计量.
4． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证
：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
即
5． 设总体μ，则
的UMVUE.
又
由
知
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.
为样本，证明，
分别是
的无偏估计，设
分别为
是0的任一无偏估计，
【答案】大家知道：
即
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将（*）式两端对H 求导，并注意到有
这说明为证明
即于是从而的UMVUE.
的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
这表明这就证明了
6． 设
由此可得到的UMVUE.
因而
是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是
的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为
由此可见（2）
是的无偏估计.
是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为
由此可见
（3）反证法，倘若
是p （1-p ）的一个无偏估计.
是1/p的无偏估计，则有
或者
上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.
7． 证明公式
其中
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