2017年西北师范大学地理与环境科学学院601数学(理)考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）（2）确定。
【答案】（1）
，其中闭区域
，其中由不等式
是由球面
所围成的闭区域；
所
（2）在球面坐标系中，不等式为亦即
。因此
，
即
可表示为
（图）
；
变为
，即
，
即
变
，
图
于是
2． 求圆盘
绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
绕y 轴旋转所得
绕y 轴旋转所得的立体，因此
【答案】这是一个圆环面，可以看作由图形的立体减去由图形
3． 设光滑曲线
过原点，且当时对应于且
一段曲线的弧长为
求
【答案】根据题设条件得
即
取
故
4． 求锥面
【答案】由
被柱面
解得
积分得
在积分方程两端对x 求导，
得
由初始条件
知
所割下部分的曲面面积。
，
（图）
故曲面在xOy 面上的投影区域
图
被割曲面的方程为
于是所求曲面的面积为
5
．
确。
【答案】在单连通区域G 内，
若
为某二元函
数
本题中有
具有一阶连续偏导数，
则向量的梯度（此条件相当
于
在G 内恒成立。
定
常
数
，
使
在
右
半
平
面
内
的
向
量
为某二元函
数的梯度，并
求
是u （x , y ）的全微分）的充分必要条件是
由等式
得到
由于
在半平面x>0内，取
，故
即
则得