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一、证明题

1． 设级数

满足:加括号后级数

符号相同，证明

【答案】因为所以

设故

又当

存在，即

时必有

从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

2． 证明施瓦兹（Schwarz ）不等式:若f 和g 在[a, b]上可积, 则

f x ）【答案】若（与g （x ）可积, 则也可积,

又即

由此推得关于t 的二次三项式的判别式非正, 即

故

3． 设

收敛. 证明:

收敛（a n >0）.

, 由积分判别法知级数收敛, 由比较判别法知

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收敛（m1=0）, 且在同一括号中的

亦收敛. 收敛，所以其中

又因为括号内符号相同，

则存在. 又对任意的n ，存在k ，使得

都可积, 且对任何实数t ,

. 故

【答案】因为又

收敛, 所以

收敛, 收敛.

4． 设

【答案】因使得当令

收敛, 且在

且

在

上一致连续, 证明

上一致连续, 故对于

时, 有

则由积分第一中值定理得,

使得

因也即取

收敛, 故级数故对上述的则当

收敛, 从而存在

使得当

即

时,

.

时, 因

故存在惟一的, 使得. 易见, 且

从而

二、解答题

5． 求定积分

【答案】作变量替换

则

则

6． 由拉格朗日中值定理, 对

, 使得

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求证:.

方法一:用带皮亚诺余项的泰勒公式,

得

于是

即

即得方法二:由

.

解出

. 由洛必达法则及

【答案】

7． 求方程

【答案】令

,

得

恰有三个实根的条件. ,

如图所示

.

图

由图可见, 当

8． 试问下列等式是否成立:

（1）（2）

【答案】（

1

）对于任意一个函数

由于

的反函数

当

x 属于

的定义域时

, 总有

的定义域为R , 故等式成立.

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时, 方程恰有三个实根.