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一、证明题

1． 设

，证明:

【答案】

所以

2． 设定义在[a, b]上连续函数列

满足关系

对于在[a, b]上的可积函数f , 定义

证明:

收敛, 且有不等式

【答案】设

依题意可知

与

均在[a, b]上可积

.

其中

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所以

故

即级数

的部分和有上界, 从而

有

可知,

当且仅当（2）当且仅当

时, 等号成立.

时, 等号成立.

4． 对下列命题, 若认为是正确的, 请给予证明; 若认为是错误的. 请举一反例予以否定:

（1）设（2）设（3）设（4）设可导. 而题设矛盾.

（3）命题错误. 如取处处不可导. （4）命题错误. 如取在

不可导, 而f （x ） =0在x 0=0可导.

, 则

在

可导.

（狄利克雷函数）, 则

处处可导. 但

与

, 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;

, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导; , 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;

, 若在点x 0可导, 在点

x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导.

,

, 则

, f （x ）在

处

在x 0=0处都不可导.

在x 0

也可导. 这与

收敛, 且

3． 证明:对任何

（1）（2）

并说明等号何时成立. 【答案】（1）由三角不等式

【答案】（1）命题错误. 如取

（2）命题正确. 反证法. 假如f

在点x 0可导, 又因在点x

0也可导, 则

二、解答题

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5． 求由曲线与直线, , 所围图形的面积.

【答案】该平面图形如图所示. 所围图形的面积为

图

6． 计算曲面积分所围的立体的表面的外侧.

【答案】设S 1, S 2, S3分别为S

的上、下底面和圆柱侧面,

则

记S 1+S2在xOy 平面上的投影区域为D xy , 则

在S

3上,

而S 3在yOz 平面上的投影区域D yz :

故

从而曲面积分 7． 计算

【答案】

在任何不包含原点的区域内均有

因此对任何完全落在L 内部且包含原点的封闭曲线C , 在L 和C 所夹的区域内应用格林公式, 有

, 其中S

是曲面及两个平面z=R, z=-R （R>0）

, 其中L 是椭圆

, 方向沿逆时针方向.