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一、证明题

1． 设f 为傅里叶系数, 证明

【答案】因为f

为又

故

即

2． 设

为开集,

, 存在

. , 当

在, 当

可微, 试证明:

时, 有

（2）存在

时, 有

（这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件） 【答案】（1）因为, 在其中

即

处可微, 依定义

, 当

时, 有

使

故当

（2）在（1）中取其中

. , 则

时, 有

上的光滑函数, 所以f （x ）在

上有连续的导函数

上的光滑函数, 且

为f 的傅里叶级数

为f 的导函数的

（1）任给

二、解答题

3． （1）设级数

（2）讨论级数

在X 上一致收敛, 求证:级数的一般项

在x>0上的一致收敛性.

, 使得

在X 上一致趋于零;

【答案】（1）由一致收敛原理, 即得

在X 上一致趋于零.

p>1, 有

（2）对固定的x>0, 由

可知,

对任意固定的x 收敛. 但

因此根据（1）, 原级数在x>0上不一致收敛.

4． 求曲线

【答案】曲线质量为

I

5． 设圆台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm, 高h=40cm, 若R , r , h 分别增加3 mm, 4 mm, 2 mm. 求此圆台体积变化的近似值.

【答案】圆台体积将R = 30, r=20, h=40及

6． 设f （x ）在（0, 1）内有定义, 且

求证:【答案】因为

所以对任意给定的

, 使得当

时,

从而

代入上式得

的质量, 设其线密度为

.

（*）

, 由（*）得

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（**）

因为

所以对（**）令

取极限得到

从而

7． 计算线积分

【答案】

如图所示

所以

, 其中

ABC 为三点

A （1, 0）, B （0, 1）, C （﹣

1, 0）连成的折线.

图

8． 应用幂级数性质求下列级数的和:

（1）

（2） 【答案】⑴设

则

所以

从而

（2）可求得

的收敛域为（﹣1, 1], 设

则