2018年山东科技大学数学与系统科学学院712数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f 与g 都在[a, b]上可积, 且g （x ）在[a, b]上不变号, M 、m 分别为f （x ）在[a, b]上的上、
下确界, 则必存在某实数【答案】
设
,
, 由定积分的不等式性质, 得
若
, 则由上式知
, 从而对任何实数
若令
2． 设曲线
证明
的周长和所围成的面积分别为L 和S , 还令.
, 则得
, 则
,
且
.
均有
,
,
使得
.
因
,
, 所以
有
【答案】由对称性知
二、解答题
3． 求a 、b 使下列函数在
处可导:
【答案】由于函数在由又由
4． 求摆线:
【答案】因
处可导, 从而连续； 得到得到
的质心, 设其质量分布是均匀的.
故质心坐标为
5． 设
【答案】归纳法易知
即
求
有上界, 然后又因为
所以数列单调递增, 所以由单调有界定理知设
6． 计算下列第二型曲面积分:
（1）（2）
其中
是闭曲面（3）（4）其中为锥面有连续导数;
极限存在.
解
得
即
对两边取极限
得
其中为锥面的外侧;
, 取外侧;
, 其中是抛物面
,
和球面
, 方向取上侧;
所围立体表面的外侧, f （u ）具
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（5）
其中是三维空间中xy 平面上的曲线段侧;
（6）
,
绕y 轴旋转而成的曲面, 方向取右
, 其中是平行六面体
的表面并
取外侧, f （
x ）, g （y ）,
h （
z
）为上的连续函数;
（7）
【答案】（1）补充平面公式得
而
所以
（2）闭曲面是由八个平面侧, 由高斯公式得
令
区域在此变换下变为区域由对称性知, 原式=（3
）用
表示以原点为中心、
,
则
为半径的上半球面, 取上侧, 取充分小, 使在的内部. 记
的部分, 取下侧,
表示曲面
围成
组成, 其围成的立体为, 取外
, 其中为椭球
的表面, 取外侧.
, 取其上侧, 设
与
围成的区域为
则由高斯
为平面z=0上满足的区域, 则由高斯公式得