2017年长春师范大学数学学院861数学分析[专业硕士]考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设有四个不同
的零点不同的零点；函数.
应用罗尔定理可知函数
’必有三个不同的零点；函数
有两个
有一个零点. 然而已知函数f 无零点，这便产生矛盾. 这矛盾说明反证法
为实数. 求证：方程
的根不超过三个.
那么函数.
【答案】用反证法.
假设方程有四个不同的根
假设不成立，即方程至多只有三个根. 2． 已知
为发散的正项级数
，
为其部分和，用柯西收敛原理证明
使得
可以先取n=N+l，注意到
递增，所以此时有
因为则
所以原命题成立.
3． 证明下列各式：
【答案】(1) 是
(2) 由于是
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发散.
【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数
递増且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m , 使得
, 由函数极限的局部有界性知，在内有界，于
由函数极限的局部有界性知，在内有界，于
(3) 由
(4) 因为
所以
(5)
(6) 设于是
故
(7) 设
则
于是
故
4．
设
在
求证：至少存在一点【答案】用反证法, 如果函数因为
在
点
在使
得
这与
点.
上连续，所以
使得在
上没有零点，那么函数由题设条件知，
在是最小值相矛盾，所以函数
在内
存在在
上也没有零点，
，使
得
上至少有一个零
. 根据闭区间连续函数的性质，必存在最小值，即存
上连续，对于区
间
中的每一个
点
总存在
.
使
得
则
即
，于是，在某个
内
有界，故
知
二、解答题
5． 求由抛物线
与
所围图形的面积。
和
所围图形的面积为
【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为
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图
6． 设
求
【答案】
7． 将函数
【答案】
本题亦可用待定系数法展开. 设
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展开成x 的幂级数.