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一、分析计算题

1． 设

都是行阶矩阵，且

征明：这p 个矩阵秩的和

故不等式成立.

2． 问：何时n 阶方阵A 的若尔当标准形与有理标准形相同？

【答案】此两个标准形相同的充要条件是，存在正整数m 使设

即A 的特征根全为0. 于是

的不变因子只能是

从而次数大于零的不变因子和初等因子为相同，都是

由此知A 的若尔当标准形与有理标准形相同. 反之，设A 的这两个标准形相同，即

则

即

故

3． 计算

即A 的特征根全为0. 若

为A 的最小多项式，则

因此，A 的属亍的若尔当块和伴侣矩阵

即A 的特征根全为零.

【答案】由Sylvester 不等式得

其中互不相同.

【答案】

显见，x 分别取又由定义知所以

4． 设A 为n 阶方阵. 证明：

时，有两两互素，所以有

由根与系数的关系知

是一个关于x 的首项系数为1的n 次多项式，故

【答案】证法I 齐次线性方程组任一解，

即

则必

因若

的解显然是

设

再用

乘上式，又得

如此下去，即得

线性无关，矛盾. 因此必

同解. 于是由上题知（3）成立.

其中

为n 阶单位方阵。因此存在

同解.

的解是的解，

即

的解. 反之，设

. 因此，

都同解. 再由上题即得（3）.

且

【答案】易知

于是得

又

则

则

便是

的解，从

同解. 如此下

使

于是由上题知，又显然而由上知也是去，

即知

5． 设

的解反之，设

的

这说明n+1个n 元（列）向量与

同解.

同理可证

证法II 因为A 是n 阶方阵，故

因为

由克莱姆法则知存在多项式

使得

由（1-24）和（1-25）知

故

设T 是. 的一个正交变换，记

都是V 的子空间，试证明：

则

因此设

其中I 为V 的恒等变换

.

因为

由①，③，④即证

7． 设为何值时；

（1）（2）（3）

不能由

划生表示；

可唯一由线性表示，并写出表达式；

可由线性表示，但表达式不唯一，并写出表达式.

则

试讨论a , b

即证

于是

6． 设V 是有限维欧氏空间，内积记为

显然

和

【答案】先证

【答案】设