2018年北京市培养单位华大教育中心803概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． （1）设分布函数
其中
与
分别为总体的分布函数与密度函数.
时，样本极差
的分布函数.
做变换于是
与
其逆变换为
的联合密度为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
（2）对于指数分布
由（1）中结果，有
2． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
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和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差的
（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
雅可比行列式绝对值为
先证充分性. 若是实的偶函数，则又因
所以得
即数，
由于
关于原点是对称的.
则X 与所以
有相同的密度函数，所以X 与
故
有相同的特征函
再证必要性，若
的特征函数为
是实的偶函数.
3． 设随机变量独立同分布，且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
4． 设随机向量
令
所以由
诸的相互独立性
得的特征函数
为
的特征函数，由唯一性定理知间的相关系数分别为
且
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
5． 设二维随机向量
服从二维正态分布，且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知
所以
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【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关，则由上面的推导可知
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明. 6． 设
是来自
的样本，
是来自
的样本，两总体独立.c ，
d 是任意两个不为0的常数，证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立，故
于是
与分别是两个样本方差.
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