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一、证明题

1． 设

证明:

为独立随机变量序列，且

服从大数定律.

相互独立，且

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

2． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

3． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:

【答案】由于其中

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【答案】因为所以

存在，所以级数绝对收敛，从而有

代回原式即得证.

4． 设二维随机向量

服从二维正态分布，且

证明:对任意正常数a , b 有

【答案】记

则

由条件知

所以

由此得

令

则

所以

其中

又由

知

这就完成不等式的证明. 5． 设和方差,

（2）当

【答案】 （1）由由于X 的概率密度为

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是来自总体x 的简单随机样本,

, 证明:

相互独立知,

也相互独立,

所以

时,

分别为样本的均值

（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,

所以

由此证得（2）由

由于

, 所以

知从而将①, ②代入

可得

① ②

与

相互独立知,

与

也相互独立, 从而

①此外, 由

从而得到目的最大似然估计量为

6． 从正态总

. 中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明:不管

，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布. 由于n=100，

，

先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

【答案】设的先验分布为其中所以

故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5. 7．

设计.

【答案】由于

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独立同分布

, 证明

:

是的相合估