2018年北京市培养单位动物研究所803概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 用概率论的方法证明:
【答案】设故
服从参数
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数
又由泊松分布的可加性知，
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知
2． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是即这说明
*
即
3． 设
【答案】一方面
另一方面
4． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:
【答案】
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的泊松分布
的UMVUE ,
，则，且
是的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
是0的无偏估计，
，
的UMVUE ，是
，证明:
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
5． 设
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，
，故
最优.
，
都是的无偏估计；
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
从而
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（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
6． 设二维随机变量
服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为
是来自该总体的样本，
证明:二维统计量
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处，
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，结论成立.
7． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:
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时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优.
是该二元正态分布族的充分统计量.
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