2018年北京林业大学生物科学与技术学院725数学(自)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
2． 证明:若
由此写出独立，
因此F 变量r 阶矩为
由
容易算得
与
则当
其中
且v 与W 相互
时有
证明
则
也服从
从而
【答案】由F 变量的构造知
不存在.
从而可得当
时，只要
就有
在其他场合，
当
时，只要
就有
3． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
时，记Y=X, 试证
相互独立，且服从同一柯西分布，试证:
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性，设若
与
相互独立，则
这正是参数为为
（2）当所以
由于
当然X 与Y 不独立.
不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为
由相互独立
此题说明，由
（3）设
都服从参数为性得:
即
的特征函数为
的柯西分布.
时有
的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，
服从参数
由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布，其密度函数为
常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
但是X 与Y 不独立；
与
同分布.
与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.
, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
为总体的样本,
4． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又则
又故 即证
是
的无偏估计量.
服从二维正态分布，且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
5． 设二维随机向量
由条件知
所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
6． 设
（1）
各以
的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以
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