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一、计算题

1． —个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.

【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有

设所求事件为样本点共有本点总数

它为

由此得所求概率为

可算得：

2． 掷一颗骰子60次，结果如：

表

试在显著性水平为0.05下检验这颗骰子是否均匀.

【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体总共分6类. 若记出现点数i 的概率为的假设为知，

检验的统计量为

由于

未落入拒绝域，故不拒绝原假设. 在显著性水平为0.05下可以认为这颗骰子是均

匀的. 此处检验的p 值为

这里k=6，

检验拒绝域为

若取

则要检验

则查表

个样本点. 事件

发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，否则不

个，当k 从0到n 累加起来就得事件

所含样

可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n-k 次，这样共游动2n 次，此种

3． 假设

（1）A ，B 不相容； （2）A ，B 独立； （3）

在以下情况下求P （B ）:

【答案】由加法公式及其变形可知： （1）因为A ，B 不相容，所以（

2

）

因所以

为

A 由此得

，

B

独

立

，

所

以

由

得P （B ）=5/6.

（3）因为

4． 若总体X 服从如下柯西分布：

而

是它的一个样本，试求μ的估计量.

最小，则得

很难说

的一个合适的估计量，因

【答案】由于柯西分布不存在数学期望，因此不能用一阶矩法估计得到μ的估计量. 若用最小二乘法，即使

为这时无偏性、有效性都失去意义，而且同分布（读者自行验证），说明

也没有起到汇集

的信息的作用，因而，这个估计量的相合性也就无从谈起. 因此，我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为

其对数似然函数为

对求导可得对数似然方程为

这个方程只能求数值解，比如用牛顿迭代法. 由于μ是总体分布的中位数，因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看，该方法得到的估计要比样本中位数估计更好些.

5． 假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区18岁〜25岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取10名，样本均值1.64m ，样本标准差0.2m ; 乙地区抽取10名，样本均值1.62m , 样本标准差0.4m. 求：

（1）两正态总体方差比的置信水平为95%的置信区间； （2）两正态总体均值差的置信水平为95%的置信区间. 【答案】设设条件

，

为甲地区抽取的女青年身高，

为乙地区抽取的女青年身高，由题

（1）的的置信区间为

由此，

此处，

m=n=10, 查表得信区间为

的置信水平为95%的置

（2）由（1）方差相等，此时，

查表得

故两正态总体均值差的置信水平为95%的置信区间为

还有另一种解法就是不对方差相等作假定，而采用近似方法求均值差的置信区间，由于

从而两正态总体均值差的置信水平为95%的近似置信区间为

这二个置信区间相差不算太小，所以在应用中条件“方差相等”是否成立是要加以考证的. 查表知

6． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm （取

【答案】这里的原假设和备择假设分别为

拒绝域为

当取

时，

检验统计量

u 值落入拒绝域内，因此拒绝原假设，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm.

7． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试求（X , Y ）的协方差矩阵.

（1）（2）

【答案】（1）因为

可分离变量, 所以X 与Y 相互独立, 由此知

的置信水平为95%的置信区间包含1, 因此有一定理由假定两个正态总体的

，样本标准差s=2.6cm，

）？

又因为