2017年成都信息工程大学数学专业基础之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 某种圆盘的直径在区间（a ，b ）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积.
【答案】记X 为圆盘的直径，则圆盘的面积为
所以平均面积为
2． 将12个球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3个球的概率.
【答案】将12个球随意放入3个盒子中，所有可能结果共有
个，而事件“第一个盒子中有
种可能；第二
3个球”可分两步来考虑：第一步，12个球中任取3个放在第一个盒子中，这有
步，将余下的9个球随意放入第二个和第三个盒子中，这有29种可能，于是所求概率为
3． 从
（1）（2）（3）【答案】记
则
又因为（1）（2）（3）
4． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为
，记Z=X+Y。
（I
）求【答案】
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十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：
所以
Y
的概率密度为
（II ）求X 的概率密度f （z ）。
（I
）
，则其值为非零时z 的取值区间为[-1，2]。 （II ）设z 的分布函数为F （z ）当z<-1时，F （z ）=0； 当z>2时，F （z ）=0；
当
所以z 的分布密度函数为
5． 设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到取何值，方能使
【答案】若要使
成为的无偏估计，且方差达到最小？
为的无偏估计，即
则必须有
此时，
因此，问题转化为在令
的条件下，求
由
得到
从①中可以得到
代入②中，解出
从而
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时，
（i=l，2, …，k ）. 用这
应
，设仪器都没有系统误差. 问
的极小值.
6． 设某项维修时间T （单位：分钟）服从对数正态分布
（1）求p 分位数（2）若（3）若【答案】因为1）的p 分位数，则由
求该分布的中位数；
求完成95%维修任务的时间. 所以
记
为
的p 分位数，为N （0，
知
（1）因为所以（2）由（3）因为
所以当
知：
为
时. 完成95%的维修任务的时间
7． 设随机变量X 的密度函数如下，试求E （2X+5）
.
【答案】因为
8． 设随机变量
所以
相互独立、同服从N （0, 1）, 则
相互独立的充要条件为其协方差为0, 即E （UV ）=0, 实际上
其中诸如今已知
与均为实数.
的充要条件为
【答案】由于正态随机变量的线性组合仍为正态变量, 而两个正态变量相互独立的充要条件是
这表明:U 与V 相互独立的充要条件是
二、证明题
9． 设
证明:
为独立随机变量序列, 且
服从大数定律.
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