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一、计算题

1． —批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算.

【答案】记X 为抽取的40件产品中的不合格品数，则

（1）拒收的概率为

（2）因为

所以用泊松分布作近似计算，可得近似值为

可见近似值与精确值相差0.0007，近似效果较好.

2． 掷一颗骰子两次, 求其点数之和与点数之差的协方差.

【答案】记X 为第一次掷出的点数, Y 为第二次掷出的点数, 则X 与Y 独立同分布,

即有

由此得

3． 设

【答案】

因为为

及

，求

的密度函数、数学期望与方差.

且

为严格单调增函数，其反函数

所以Y 的密度函数为

这是对数正态分布

为求其数学期望，采用线性变换

可得

上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是为求Y 的方差，先求

施行相同的线性变换，可得

上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是

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而“拒收”

就相当于

的可能取值范围为

的密度函数之故.

的密度函数之故. 由此得

4． 设

试问

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为

是否服从大数定律？

即

存在, 所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

5． 掷三颗骰子，求以下事件的概率：

（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从为所得的最大点数，则

（1）（2）

中有返回地任取三个，所有可能为重复排列数

中有返回地任取三个，所有可能为

这是分若记Y

母，而“最大点数小于等于5”，相当于从

【答案】因为

6． 为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p , 任意调查n 个成年男子, 记其中的吸烟人数为m , 问n 至少为多大才能保证m/n与p 的差异小于0.01的概率大于95%.

【答案】因为

, 所以

根据题意有

由此得

查表得

因为

所以当

时, 必可满足要求, 因此至少抽9604个成年男子,

小于0.01的概率大于95%.

可使其吸烟频率m/n与实际成年人中吸烟率p 的误差

7． 设随机变量X 的概率密度函数为

对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π/3的次数，求【答案】因为事件“观察值大于；π/3”可用

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的数学期望.

表示，从而

而Y 的分布列为

所以

8． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差.

【答案】记X 为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X 的分布列为

表

由此得

二、证明题

9． 设随机变量

【答案】因为

所以

10．设随机变量量.

【答案】

令

, 两边取对数, 并将

, 则由X 的特征函数

..

展开为级数形式, 可得

可

得

由此得, 证明:当

时, 随机变量

按分布收敛于标准正态变

中任意两个的相关系数都是p , 试证:

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