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一、证明题

1． 设

【答案】由

证明:

代入得

2． 叙述（1）有限覆盖定理和（2）魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）定理（致密性定理）, 并用（1）证明（2）.

【答案】⑴有限覆盖定理:

若

个开区间来覆盖[a, b].

（2） Weierstrass 定理（致密性定理）:有界数列必存在收敛子列. 反证法. 设数列则对任意的由此可知, 存在显然

为

在

不是

若

中无收敛子列,

中的有限项.

中存在有限个开区间

根据项, 这与

3． 设函数

（1）当n 为正整数, 且（2）

.

, 且

, 所以

又因为

是以为周期的函数, 所以

所以当

（2）由（1）知, 当

时,

有

. 时, 有

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为闭区间的一个（无限）开覆盖,

则在中必存在有限

中任意一子列的极限.

中至多只含有

于是得一满足上述条件的开区间族

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,

的构造性质可知, 中,

中也只含有中的有限项, 从而[a, b]中也只含有中的有限

矛盾, 所以结论得证.

时, 证明:

【答案】（1）因为

.

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令

可得

4． 证明下列命题:

（1）若f （x ）在

[a, b]

上连续增,

则

F （x ）为[a, b]上的增函数. （2）若f （x ）在

上连续, 且

,

则

为

？

【答案】（1）由f （x

）在[a, b]上连续及洛必达法则, 得

因此F

（x ）在x=a点右连续, 从而F （x ）在[a, b]上连续, 又当

时

,

根据积分中值定理, 存在由f （x ）在[a, b]上单调增,

得

故F （x ）为[a,

b]上的增函数. （2）由题设, 可得

.

因此

在

内可微, 且

由从而

故_

为

内的严格增函数. 因

所以补充

, 使函数

成为

上的连续函数, 再由

, 可得

知,

函数（x-t

）f （t

）在

上非负, 且不恒为零, 所以

,

, 使

从而当

. 所以

时,

上的严格增函数, 如果要使

在

上为严格增, 试问应补充定义

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在

上严格增.

二、解答题

5． 求下列不定式极限:

【答案】 （1）（2）（3）（4）

（5）（6）

（7）因为所以

（8）（9）（10）

.

.

,

,

.

.

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