2018年新疆大学数学与系统科学学院715数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为
上的有界可测函数, 且
那么
证明:
在
上几乎处处为0.
【答案】（反证法）假设令
则必然存在某个
使得
这与题设矛盾, 所以原命题成立.
2． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明:
（1）（2）【答案】将又因为
比较上面两式的实部与虚部可得
3． 用定义证明:
【答案】先写出当
具体到本题, 由于
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代入欧拉公式, 得
的精确数学定义.
和
时, 有
,
所以
, 取
, 当
. 和
时, 有
即
4
．
设
为开集f , g :
均为可微函数, 证明:, 因为f , g
在x 0
处可微, 所以
又由f
（x
）在x
0处可微
, 知
f 在
x 0
处连续,
从而
所以
在x 0附近有界, 即
, 使
也是可微函数, 而且
.
【答案】
对
这表明,
在
x 0
处可微,
且
, 由x 0的任意性, 知
在D 上可微, 且
二、解答题
5． 以
分别表示各双曲函数的反函数. 试求下列函数的导数:
. 由
得
.
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【答案】（1）把上式中的x 替换为（2）
得
. 于是
，
（3）（4）
,
故
,
于是
（5）
（6）由（1）得,
6．
设函数
【答案】
, 求
, 当
时,
, 由
,
得
7．
求极限
【答案】方法一:令
, 则有
当
时,
故有
因此方法二:当
时,
是无穷小量.
由此即得
.
8． 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛, 则求其值:
（1）
; （2）
（3）
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页
;