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一、证明题

1 设分别自总体．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，V ar （Z ）达到最小，此时

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为

的样

该无偏估计为

中抽取容量为

，的两独立样本其样本方差分别为

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

本，上述是的线性无偏估计类中方差最小的.

2． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?

【答案】设共投掷n 次，记事件则

由

得

两边取对数解得

所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点

为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.

数为6的概率大于1/2.

3． 设为来自

【答案】记

的i.i.d 样本，其中

）.

样本的联合密度函数为

未知. 证明关于假设

的单侧t 检验是似然比检验（显著水平

两个参数空间分别为

利用微分法，在

下

于是似然比统计量为

在

时

由于

故只需考虑

的情形，此时A 为

的单

分别为

的MLE.

而在

下

的MLE

为

调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域

由t 检验的结论知，

这就完成了证明.

, 且X

的特征函数, 由唯一性定理知

的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.

, 其中

, 且X 与Y

, 考察其极限知

由特征函数性质知

从而由

, 再按依概率收敛性知

这就证明了

的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.

6． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证

【答案】

7． 设总体X 的密度函数为：

4． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

5． 设

为自由度为n 的t 变量, 试证:

【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为

, 劼的特征函数为

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

8． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

这就证明了

，则这说明

即

对一切的

存在，

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

的置信区间为

（2）取c , d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

9 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．

【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE

，即

且

的无偏估计，故其差

由判断准则知

是0的无偏估计，