2017年江西农业大学国土资源与环境学院601数学之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
2． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
3． 设
为自由度为n 的t 变量, 试证:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
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【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
由特征函数性质知从而由, 再按依概率收敛性知
这就证明了
4． 设随机变量
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
证明
则
也服从
从而
【答案】若随机变量而
这就证明了
5． 设P （A ）>0，试证：
【答案】因为
所以
6． 设
是来自
的样本，证明
为
没有无偏估计.
【答案】（反证法）假设的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即没有无偏估计.
7． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为
试证:
当
时, 有
的分
【答案】对任意的即
8． （1）设布函数
其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数.
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结论得证. 和
分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差
（2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
时, 样本极差的分布函数.
做变换
的联合密度为
其逆变换为
雅可比行列式绝对值为,
于是
与
由此可以算得的边际密度为
的分布函数为
（2）对于指数分布
由（1）中结果, 有
二、计算题
9． 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1. 试求找到钥匙的概率.
【答案】记事件
为“钥匙掉在宿舍里”，
为“钥匙掉在教室里”，
为“钥匙掉在路上”，事
10．设随机变量
【答案】因为正态分布所以
由此得X 的3阶及4阶中心矩为
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件B 为“找到钥匙由全概率公式得
, 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩.
的特征函数为