2017年江西农业大学国土资源与环境学院601数学之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
由
的任意性知
结论得证.
2． 证明：
（1）（2）
【答案】（1）由
移项即得结论.
使当
使有时, 任对
, 有
弱收敛于分布函数
且
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为
关于x 是一致的,
和
都是连续、严格单调函数,
又设
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
3． 证明:若与
则当时有由此写出E （F ）
【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为
, 其中. 由
且v 与W 相互独
容易算得
从而可得当r=l时, 只要
就有
在其他场合, 不存在.
当r=2时, 只要
就有
4． 设0 【答案】由条件 得 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 5． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数. 【答案】记X 的特征函数为为 这表明X 与-X 有相同的特征函数, 从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的. 再证必要性, 若由于-X 的特征函数为 , 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数, 所以 故 是实的偶函数. 所以得 , 即 先证充分性. 若 是实的偶函数, 则 又因 6． 证明：对正态分布若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在. 【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为 该函数在 时趋于 这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而 的最大 似然估计不存在. 7． 证明:对任意常数c , d , 有 【答案】 由 得 因而结论成立. 8． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为 试证: 当 时, 有 【答案】对任意的即 结论得证. 二、计算题 9． 某饮料商用两种不同配方推出了两种新的饮料，现抽取了10个消费者，让他们分别品尝两种饮料并加以评分，从不喜欢到喜欢，评分由1〜10，评分结果如下： 表 问两种饮料评分是否有显著差异？ （1）采用符号检验方法作检验； （2）采用符号秩和检验方法作检验. 【答案】10个差值为