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一、证明题

1． 设按有无特性A 与B 将n 个样品分成四类，组成

表

列联表：

其中n=a+b+c+d，试证明此列联表独立性检验的统计量可以表示成

【答案】检验的假设问题为

与B 是独立的. 统计表示如下：

进而得到

因而检验统计量为

在原假设成立下，我们计算诸参数的最大似然估计，为

证明完成.

2． 试证：对任意的常数

【答案】

于所以由此得

3． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由（2）因为（3）

4． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.

【答案】泊松分布的概率函数为数为

对来自泊松分布

的样本

的后验分布为

若的先验分布为伽玛分布，其密度函

又由（1）知

知

所以有

有

由

即的后验分布为

仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的

共轭先验分布.

5． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与-X 有相同的特征函数,

从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.

再证必要性, 若由于-X 的特征函数为

6． 设随机变量量.

【答案】

令

, 两边取对数, 并将

所以

而

正是

的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱

, 则由X 的特征函数

..

展开为级数形式, 可得

可

得

, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数, 所以, 证明:当

故

时, 随机变量

是实的偶函数.

按分布收敛于标准正态变所以得

, 即

先证充分性. 若

是实的偶函数, 则

又因

收敛的方法知结论成立.

7． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为

证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为

则

与的联合分布为

所以，