2018年中国农业大学水利与土木工程学院701数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1．
行列式
等于（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
2．
与二次型
的矩阵A 既合同又相似的矩阵是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】二次
型经正交变
换化为新的二次
型，
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于
由
则有即原二次型矩阵A 和新二次型矩阵B 合同，又因Q 是正交矩阵，
因此在正交变换下，二次型矩阵A 与B 不仅合同而且相似.
故
因为两个实对称矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值，现在
知矩阵A 的特征值是2, 4, -2. 所以应当选B. 3．
设是四阶矩阵，为A 的伴随矩阵，若基础解系，则
A.
B.
C.
D. 【答案】D
都为
的基础解系可为（ ）。
是方程Ax=0的一个
【解析】由伴随矩阵性质知
，
的解. 又r （A ）=3.
从而
又Ax=0有非零解，故|A|=0,
即
故
即
的基础解系的秩为3. 又由条
件知
，
即线性相关.
从而
，
线性无关且为的基础解系.
4． 设A 为4X5矩阵. 且A 的行向量组线性无关. 则（ ）.
A. .A的列向量组线性无关 B.
方程组C
方程组【答案】B
【解析】由题意知，方程组AX=b的行向量组线性无关，
则
而未知数的个数为5,
故方程组中含有一个自由未知数，它有无穷多解.
5． 设A 是三阶矩阵
，是A 的伴随矩阵，己知A 的每行元素之和为k
，m ，则=（ ）
A.km
B.
C. D.
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有无穷多解
的增广矩阵A 的任意四个列向量构成的向量组线性无关
D. A的任意4个列向量构成的向量组线件无关
的每行元素之和为
【答案】A
【解析】法一：A 的每行元素和为k ，
故两边左乘
得
的每行元素和为m ，故
故
法二：将A 的其余各列加到第1列，且利用A 的每行元素之和为k , 得
显然
的第1列元素的代数余子式是相同的，将
按第一列展开，得
故
则必有（ ）。
因
也是的第一行元素，
故
6． 设A 、B 、C 、D 都是n 阶矩阵，
且
A.
B. C. D. 【答案】B 【解析】逆阵
使得
即存在可逆阵P ，
使
即存在可逆阵Q ,
使故存在可
得
二、填空题
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