2018年中国农业大学生物学院701数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、选择题
1． 设A , B 均n 阶实对称矩阵，若A 与B 合同，则（ ）。
A.A 与B 有相同的特征值 B.A 与B 有相同的秩 C.A 与B 有相同的特征向量 D.A 与B 有相同的行列式 【答案】B
【解析】B 项，按定义，若存在可逆矩阵C
使故有
ACD 三项，
令
此时A 的特征值是1, 1, B 的特征值是1, 4
; |A|=1, |B|=4亦不相同.
2．
设B=（ ）。
【答案】B
【解析】CD 两项，矩阵A 作两次行变换可得到矩阵B ，而列变换，故应排除.
AB 两项，把矩阵A 第1行的2倍加至第三行后，再1, 2两行互换可得到矩阵B. 或者把矩阵A 的1. 2 两行互换后，再把第2行的2倍加至第3行亦可得到矩阵B ,
而
3． 现有四个向量组
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则称A 与B 合同. 因为矩阵C 可逆，
则有
即A 与B 合同.
是A 的特征向量，但不是B 的特征向量；
则
描述的是矩阵A 作
正是后者.
则下列结论正确的是（ ） A.
线性相关的向量组为
B.
线性相关的向量组为
C.
线性相关的向量组为
D.
线性相关的向量组为
【答案】D
【解析】向量组①是四个三维向量，从而线性相关，排除B 项.
由于
线性无关，排除C 项.
向量组
中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，
于是
线性相关，那
么添加后，
故向量组必线性相关，排除A 项.
4． 若A 、B 均为n 阶方阵，则（ ）是正确的.
A. 若AB=O.则A=O或B=O
B. C.
D.
【答案】D
【解析】A 项，由AB=0不一定有A=0或B=0,
例如
B 项，
有C 项
，D 项
，
A. 矩阵A-E 是不可逆矩阵 B. 矩阵A+E和对角矩阵相似
C. 矩阵A 属于1与-1的特征向量相互正交 D. 方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成 【答案】C
A 项，-1, 因此矩阵A-E 的特征值是-1, 0, -2.
由于【解析】因为矩阵A 的特征值是0, 1，矩阵A-E 的特征值，所以A-E 不可逆.
B 项，因为矩阵A+E的特征值是1, 2, 0, 矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似
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线性无关的向量组为线性无关的向量组为线性无关的向量为线性无关的向量组为
线性无关，
添上两个分量就可得向量组
故向量组
则AB=0,
但
AB=BA不一定成立；
•
5． 设三阶矩阵A 的特征值是0, 1, -1, 则下列命题中不正确的是（ ）。
是
对角化（或由而知A+E可相似对角化）。
D 项，因为矩阵A 有三个不同的特征值，知
因此
从而齐次方程组Ax=0
的基础解系由
个解向量构成.
C 项，若A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交.
6． 设A 、B 、C 、D 都是n 阶矩阵，
且
A.
B. C. D. 【答案】B 【解析】逆阵
使得
得
即存在可逆阵P ，
使
即存在可逆阵Q ,
使
故存在可
则必有（ ）。
二、填空题
7． 5
阶行列式=_____.
【答案】
【解析】将其余各列均加到第1列后，按第1列展开行列式，有
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