2018年中国农业大学生物学院701数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
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2018年中国农业大学生物学院701数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（一）.... 2 2018年中国农业大学生物学院701数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（二）.. 11 2018年中国农业大学生物学院701数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（三）.. 21 2018年中国农业大学生物学院701数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（四）.. 29 2018年中国农业大学生物学院701数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（五）.. 36
一、选择题
1． 下列二次型中正定二次型是（ ）。
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
由定义
f 或A 不正定.
A 项，
因B 项，
因C 项, ，
因
2．
已知四维向量组且向
量
（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C
【解析】将表出关系合并成矩阵形式有
因四个四维向量故
初等行变换，
故有
线性无关，
是可逆矩阵，A 左乘C ，即对C 作若干次
故不正定. 故不正定.
故不正定. 线性无关，
则
正定
均有
反之，若存在
使得
则
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故知
3
．
已知征值
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若
是矩阵
A 属于特征值
的特征向量
. 那么矩阵P
不能是（
）。
的特征向量，
与是矩阵
A 属于特
则有
即可见性无关.
A 项
，
若B 项
，若是属于
C 项，因为
即
是矩阵
A 属于特征值
的特征向量
又因矩阵
P 可逆，
因此
仍是属于特征值的特征向量.
线
是属于特征值的特征向量
，则
是属于特征值线性无关.
均是
的线性无关的特征向量，故
的特征向量，则仍是属于特征值的特征向量.
由于
仍是
与
的特征向量，并且
的特征向量，所以谁在前谁在后均正确.
D
项，
由于是不同特征值的特征向量，因此不再是矩阵A 的特征向量.
4．
设A 、B 均为
n 阶矩阵，且则下列命题中不正确的是（ ）。
A. B.
C.r （A ）=r（B ） D. 【答案】B 【解析】由于
知ABAB=E, 又A 、B 均为n 阶矩阵，故A 、B 均可逆，则r （A ）=r
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（B ）=n,
C 项正确，
且故
.
例如
5．
设
B.
当D.
当【答案】D 【解析】
由即
6． 已知A 是n 阶可逆矩阵，若
正确的命题共有（ ）。 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A
【解析】由于矩阵A 可逆，
有
因为
故存在可逆矩阵P
使
按相似定义知命题（2）（3）（4）均正确.
那么
按相似定义知
即命题（1）正确.
则下列命题中
有
，可得
即矩阵A+E不可逆.
对等式两边取行列式，得
若
不一定正确.
但
D 项正确. 右乘A 得知A 项正确.
由于
不能推出AB=E,
，E 为单位矩阵，则以下结论正确的是（ ）. 时，A+E可逆 时, A+E不可逆
A.A-E 可逆 C.A+E可逆
二、填空题
7． 设n
阶矩阵，则=_____.
【答案】【解析】
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