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一、证明题

1． 设

【答案】设由于

2． 试证明：二次型和最小值恰好是矩阵

的最大特征值和最小特征值. 【答案】设

令

Z 结合④式，得

由

知是对称矩阵

的特征值. 又f 在有界闭集值恰好是矩阵

的最大特征值和最小特征值.

3． 证明：若二元函数f 在点续.

【答案】成立，由于

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为m 个正数，证明

：

则

因此

在单位球面

上的最大值

上连续，故最大值、最小值存在，所以最大值和最小

的某邻域内的偏导函数存在

使

有界，则f 在

在

上连内

在U (P ) 内有界，设此邻域为

其中

所以对任意的正数，存在

故f 在

内连续.

当

时，有

4． 叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.

(1) 惟一性定理：若极限(2) 局部有界性定理：

若

上有界.

(3) 局部保号性定理：若

的某空心邻域

使得对一切点

在点

时，

从而，

由(2)

设即

这说明函数(3)

设故当对于

5． 设

在

在

上有界.

由函数极限的定义知：存在相应的

时，

的情况可类似证明.

上连续，且满足条件

求证：

即

6． 对

【答案】令

.

应用拉格朗日中值定理，试证：对

则

对

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存在，则它只有一个极限.

则存在点

的某空心邻域

则对任意正数

桓有

处的极限，则对任给的

存在使

存在

当

在1

【答案】(1) 设A ，B 都是二元函数

的任意性，故A =B

则对

存在

对

有

对一切有

为一常数.

【答案】由条件得

有

应用拉格朗日中值定理得

因此

故

二、解答题

7． 设

【答案】

8． 求下列幂级数的收敛半径及其和函数

.

(提本：【答案】(1)

设

故收敛域为设

故

从而

所以

则

)

故收敛半径为1，

又

时级数收敛，

且

试按

的正数幂展开

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