2017年哈尔滨理工大学应用科学学院823高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定
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中选三个向量组
从而否定A ,
若选从而否定C ,
是（ ）二次型.
D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使
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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 【答案】D 【解析】
二、分析计算题
6． 设V 是数域P 上n 维线性空间，T 是V 的线性变换. 证明：存在V 的线性变换S , 使得
【答案】设T 的秩为r , 则T 的零度为
由
的基
对于V 中的n 个向量
在
中取基
而T 的秩为r ，故’
将其扩充成V
的基线性无关，将其扩充成V
存在唯一的线性变换S ，使
下证TST=T, 只要证它们在（7—4）下的像皆相同即可，事实上
其中
的维数等于齐次线性方程组
的解空间的维数. 【答案】由假设知，故由维数公式得
由于（5）是
元线性方程组，又
=方程组（5）系数矩阵的秩，
故由（6）知，
维数=（5）的解空间维数. 维数为S ，
维数为t. 又因为
均为n 元列向量，证明：若此二向量组都线
7． 设性无关，则交
8． 线性方程组
的系数矩阵为
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